Essays aus dem Elfenbeinhochhaus

Klara kommt Freude strahlend nach Hause und erzählt stolz: „Die Mathematikarbeit war total schwer, aber ich habe eine 2 geschafft!“. Ihre Mutter schaut skeptisch und fragt nach: „Wie war denn der Durchschnitt?“ „3,0“, antwortet Klara wahrheitsgemäß. „Naja“, sagt Klaras Mutter, „dann warst du ja nur etwas besser als der Durchschnitt“. Klara ist empört: „Es ist total schwer bei der Lehrerin eine zwei zu bekommen! Da muss man echt gut sein!“

Und deshalb darf man als Lehrerin oder Lehrer keinen Durchschnitt berechnen. Nein, nicht, weil dann möglicherweise die individuelle Leistung von einem Kind relativiert wird, sondern weil man es tatsächlich nicht darf.

Hä? Wieso darf man das denn nicht?

Haben wir schließlich selbst immer gemacht… Man will ja wissen, wo man steht. Ja, kann sein – aber das ist genau der Punkt: Der Durschnitt ist kein geeignetes Maß um zu zeigen, wo man steht oder wie die Klasse durchschnittlich so ist. Der Grund, weshalb man bei Noten keinen Durchschnitt berechnen darf, ist kein ethischer, sondern ein mathematischer.

Damit man einen Durchschnitt berechnen darf, müssen ein paar Bedingungen erfüllt sein. Eine Bedingung ist, dass der Abstand zwischen zwei Werten gleich sein muss. Bei sowas wie der Körpergröße ist das so: Der Abstand zwischen 134cm und 135cm ist genauso groß wie der Abstand zwischen 62cm und 63cm – nämlich 1cm. Nur, wenn diese Bedingung erfüllt ist, ist der Durchschnitt aussagekräftig.

Machen wir ein kleines Gedankenspiel dazu

In Klaras Klasse wurde ein Mathetest mit 20 gleichschweren Aufgaben geschrieben. Pro richtig gelöste Aufgabe gibt es einen Punkt. Jeder Punkt ist also gleich viel wert. Wenn ich 10 Punkte habe und Klara hatte 20, dann war Klara in dem Test doppelt so gut wie ich. Bei Noten ist das nicht so: Eine 2 ist normalerweise nicht halb so gut wie eine 1.

Nehmen wir an, unsere Punkte im Test würden in Noten umgerechnet. Wir könnten zum Beispiel festlegen^[1], dass eine 1 bei einer Punktzahl von 20 Punkten vergeben wird, eine 2 gibt’s mit 19 bis 16 Punkten, eine 3 mit 15 bis 11, eine 4 mit 10 bis 5 Punkten, eine 5 mit 4 bis 1 Punkt und eine 6 schließlich bei 0 Punkten^[2]. In diesem Fall hätte dann Klara eine 1 und ich eine 4 – obwohl ich punktemäßig halb so schlecht war wie sie und nicht viermal so schlecht.

Es ist also mathematischer Unsinn, Noten zu dividieren oder zu multiplizieren.

Wenn wir aber den Durchschnitt berechnen, dann müssen wir die Summe der Werte durch die Anzahl an Kindern teilen.

Ein Notendurchschnitt ist also mathematisch Unsinn.

Inhaltlich führt er zu einer Verzerrung: Klara war nicht „etwas besser“ als der Durschnitt. Wir wissen überhaupt nicht, wie viel besser sie war, denn eine Note kann im Prinzip alles bedeuten. In unserem Beispiel kann Klara mit ihrer zwei um einen Punkt bis hin zu acht Punkte besser gewesen sein als der Durschnitt.

Der Durschnitt ist also auch inhaltlich Unsinn, wenn ich wissen will, wo ein Kind in der Klasse steht und sollte daher nicht berechnet werden.

Aber man will doch wissen, wo man steht!!!

Will man das wirklich? Werden Noten überhaupt so vergeben, dass sie darüber Aussagen treffen können? Nehmen wir das mal an, ist es dann nicht vielleicht eher so, dass diejenigen, die besser sind als der Großteil der Klasse, das gerne wissen möchten, während diejenigen, die schlechter sind, das eh schon ahnen und vielleicht nicht nochmal unter die Nase gerieben bekommen wollen? Müssen wir Kindern wirklich Methoden an die Hand geben, sich untereinander zu vergleichen? Liebe Lehrerinnen und Lehrer, liebe Eltern, liebe Kinder, was denkt ihr?

Wenn ihr gern ein Maß für die mittlere Note haben wollt, dann wäre das mathematisch geeignete Maß der Median.

Eine Alternative: Der Median

Der Median ist derjenige Wert, der unsere Klasse genau in der Mitte teilt, sodass 50% der Kinder darunter und 50% der Kinder darüber liegen. Um den Median zu ermitteln würden wir statt eines Notenspiegels die vergebenen Noten der Größe nach sortiert aufschreiben, also z. B.

1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4

Die fett markierte drei liegt genau in der Mitte, der Median ist also 3^[3]. Im Gegensatz zum Durschnitt ist die drei als Median aber aussagekräftig: Klara weiß jetzt, dass mindestens die Hälfte der Klasse schlechter ist als sie. Aus dem Durschnitt konnte sie nur schließen, dass sie irgendwie besser ist.

Durschnitt und Median werden übrigens als Maße der zentralen Tendenz bezeichnet – pädagogisch interessanter sind so genannte Streuungsmaße.

Also, liebe Lehrerinnen und Lehrer, in Zukunft bitte der Median, statt des Mittelwerts. Wenn es denn schon ein Maß der zentralen Tendenz sein muss, dann bitte das mathematisch richtige – besonders im Matheunterricht 😉 . Und, liebe Schüler und Schülerinnen, liebe Eltern: Viel Spaß beim Klugscheißen!

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[1] Der statistische Fachbegriff, bzw. Vorgang heißt „kodieren“.

[2] Eine typische Regel bei Noten ist z. B., dass man 50% richtig haben muss, um eine vier zu bekommen. Daran wird sofortdeutlich, dass die Abstände nicht gleich sein können: Oberhalb von 50% gibt es 3 Noten, unterhalb nur 2 Noten zu vergeben. Man könnte natürlich Noten so kodieren, dass die Abstände in der Tat gleich sind – dann dürfte man auch einen Durchschnitt berechnen.

[3] Der statistische Fachbegriff, bzw. Vorgang heißt „kodieren“.